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FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL

Introduccion:

Hasta ahora solo se ha trabajado en dos  dimensiones para realizar cálculos matematicos y un sinnúmero de operaciones.

Muchos de los problemas comunes vienen expresados en términos de varias variables, asi por ejemplo el volumen de un cilindro:

o el trabajo efectuado por una fuerza son funciones de dos variables.

Por lo tanto para definir una función de dos o tres variables es similar a como se hace para una sola variable.

definicion:                                                                                                                                                           

      función vectorial de una variable real, dominio ygraficación.

Una función vectorial es una función que transforma un número real en un

vector:

Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t.
Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t)
La función vectorial también se puede encontrar representada como 𝑓 (𝑡)
Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma

𝑟𝑡 = 𝑓𝑡 ,𝑔𝑡 ……….𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜

𝑟𝑡 = , ,h 𝑡 ….𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜

 Formas de notación :

hay tres formas de notación para estas funciones las cuales son:

1.- En formas de vector:

 2.- Con i,j,k

3.- En forma paramétrica:

Dominio 

El dominio de una función vectorial es la intersección del dominio de cada una de sus funciones escalares: 

 GRAFICAMENTE:

NOTA:

* La grafica de una funcion vectorial en R3 es una curva ALAVEADA, representada en el espacio.

* La grafica de una funcion vectorial en R2 es una curva PLANA, representada en el plano XOY.

OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES

Definimos las siguientes operaciones entre funciones vectoriales:

1. ( F + G )( t ) = F( t ) + G( t ), t Î I, F y G funciones vectoriales.

2. ( u.F )( t ) = u( t ).F( t ), t Î I, F una función vectorial y u : I® R.

3. F, G ( t ) = F( t ), G( t ) , t Î I.

4. ( F ´ G )( t ) = F( t ) ´ G( t ), t Î I, F y G funciones vectoriales con valores enR3.

5. (F ° u )( t ) = F( u( t ) ), t Î I, F una función vectorial y u : I® R.

LIMITES Y CONTINUIDAD

El limite de una función vectorial es el limite de cada una de sus funciones escalares. 

 

Se dice que una función vectorial es continua ssi cada uno de sus componentes es continua.

DERIVACION DE FUNCIONES VECTORIALES

NOTA:

* Para calcular la derivada de una funcion vectorial se debe derivar cada una de sus componentes 

* Se aplican las propiedades y reglas de la derivacion de las funciones reales escalares.

INTERPRETACION GEOMETRICA

 

 NOTA: Se puede consideras a F`(t) como el vector tangente a la curva C en el punto t (observar el grafico)

INTERPRETACION FISICA

Las más importantes aplicaciones físicas de las funciones vectoriales se dan -como ya lo hemos comentado-en el estudio del movimiento. Si r(t) representa la posición de una partícula en el instante t, podemos dar la siguiente definición:

INTEGRACION DE FUNCIONES VECTORIALES

 La integral indefinida de una función vectorial r (t) es una familia de funciones vectoriales (las primitivas de r) que difieren unas de otras en un vector constante C. Por ejemplo, si r (t) es una función vectorial tridimensional, entonces al hallar su integral indefinida obtenemos tres constantes de integración

LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA

Supongamos que la curva C en el espacio tiene la ecuación vectorial r(t) = (f(t), g(t), h(t)), , donde f’, g’, h’ existen y son continuas en el intervalo [a, b]. La longitud de arco de C en [a, b] es:

Por ejemplo, la longitud de arco de la hélice dada por,





Una curva C puede representarse mediante funciones vectoriales de diversas maneras según sea la elección del parámetro. Por ejemplo,





Representan la misma curva; los parámetros se relacionan por t = ew.


Para el movimiento a lo largo de una curva, el parámetro más conveniente es el tiempo t. Sin embargo, para el estudio de las propiedades geométricas de las curvas, el parámetro adecuado es el “parámetro longitud de arco s”.

Definición: Sea C una curva suave dada por la función vectorial r(t) en un intervalo [a, b] La función longitud de arco s

es:

es decir, s(t) es la longitud de la parte de C entre r(a) y r(t). La longitud de arco s se denomina parámetro longitud de arco. Y el teorema fundamental del cálculo asegura que,

CURVATURA

Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del

intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva

está parametrizada por la longitud de arco, que lla

mamos s. En este caso el

vector tangente siempre es unitario. Se define la curvatura k como la

variación del vector tangente respecto a la longitud de arco.

La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su

longitud. Esta definición es bastante intuitiva, pero no es fácil de calcular.

Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede

calcular como

 

VECTOR TANGENCIAL

Sea C una curva en el espacio definida por la función R(t), dR/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. A dicho vector le llamaremos T(t). 

VECTOR NORMAL

En Cálculo I además de la recta tangente, se definió la recta normal. Esta última es una recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Queremos extender esta definición para el caso de curvas en el espacio y hablar de un vector normal. 

VECTOR BINORMAL

El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, B, forman un triedro tri-rectángulo a derechas en cualquier punto de C.

Como a medida que varía S el sistema se desplaza, se le conoce con la denominación de triedro móvil.

PLANO OSCULATORIO, NORMAL PRINCIPAL Y PLANO RECTIFICANTE

 

 

El plano osculador a una curva en un punto P es el que contiene a la tangente y a la normal principal en P.

El plano normal es el que pasa por P y es perpendicular al plano tangente.

El plano rectificante es el que pasa por P y es perpendicular a la normal principal.

FUNCIONES DE VARIABLES SEPARABLES

.

Dominio: El dominio de f sera todo  el  plano xoy en R^n, es una region de este plano.

Limites y continuidad:

Cuando se trabaja en el plano x oy el dominio tan solo es una secesión infinita de puntos contenidos en una recta pero en el espacio es un número infinito de puntos que forman un plano, aunque como  se dijo antes las operaciones siguen el mismo metodo que en dos dimensiones.

Hablando claramente del limite en R^2 es un valor pero ya en R^3  es una circunferencia  que se define como: