Julio

CAMPOS VECTORIALES

un campo vectorial se define como un vector en dimensión n, dicho vector posibilita la descomposición de  


de dicho campo en distintos vectores, con la ayuda de una función.
figura 1: Campo vectorial.
                                         

INTEGRAL DE LINEA

La integral de linea se asemeja a la integral que se realiza con la suma de  Riemann , la diferencia es que en la integral normal se analiza dentro de un intervalo ya sea en el eje x o en eje y, en la integral no se analiza el intervalo, sino que se analiza la integral de el recorrido de la curva que se analiza.
Es posible analizar la integral de linea en campos escalares y en campos vectoriales:
INTEGRAL DE LINEA EN UN CAMPO ESCALAR:
Sea la curva C, en el plano xy, definida por las ecuaciones para métricas x=x(t) e y=y(t) con a<=t<=b, esto es equivalente a decir que la curva C está definida ´por la función vectorial 
g: R=R^2/g(t)=(x(t),y(t))
, en donde las primeras derivadas de x (t) e y (t) son continuas para a ≤t ≤ a. Se toma ahora una partición del intervalo del parámetro [a,b], con n subintervalos  de igual longitud, de manera que xi*=x(t*i) e y*=y(t*i) quedando así dividida la curva C en n subarcos  . Se elige ahora un punto genérico . Ahora bien, sea f una función cualquiera de dos variables en cuyo dominio esta incluida la curva C, obteniendo la imagen de la función f para el punto ( x*i,y*i) , se multiplica esta por la longitud i ∆s del subarco, realizando este procedimiento para todos los puntos sobre la curva se puede generar la siguiente suma 
La integral de linea de un campo escalar viene dada por :
Esta fórmula se la aplica con la curva parametrizada, ya sea en dos o en tres dimensiones, las formulas quedarían:
Dado que tambien se trabaja en 3D la formula quedaria:
Metodos basicos de parametrizacion
EJEMPLO:
 EJEMPLO PRACTICO

INTEGRAL DE LINEA EN UN CAMPO VECTORIAL


La integral de linea en un campo vectorial se obtiene de la integral de el producto punto entre el vector de la funcion primaria evaluada en su vector parametrizado y el gradiente del vector parametrizado:
Ejemplos:

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:
El teorema nos dice que podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo ( el campo vectorial gradiente de la función potencial f) con solo conocer el valor de "f" en los extremos de C. De hecho el teorema nos expresa que la integral de línea de EL GRADIENTE DE LA FUNCION es el cambio total de "f". Si "f" es una función de dos variables y C es una curva plana con punto inicial A(X1, Y1) y punto final B(X2 , Y2), entonces el teorema se convierte en:
para definir si el campo es conservativo se debe seguir el siguiente procedimiento:
  1. Según el numero de componentes que tenga el campo vectorial derivar parcialmente con respecto a las variables restantes.
  2. hacer esto con cada una de las variables.
  3. comprobar si todas las derivadas parciales son iguales.
  4. Dado un caso positivo se hará la la integral de cada variable con su respectivo eje y la constante característica sera en función de las demás variables.
  5. Comparar e igualar todas las ecuaciones.
  6. Se comparará la repuesta sacando el gradiente de la función obtenida y esta será igual a la funcion que inicialmente se analizó. 

DEPENDENCIA O INDEPENDENCIA DE LAS INTEGRALES DE LINEA:

Una cuestion  que se debe plantear e relación a las integrales de linea y superficie es si dependen de la parametrización elegida r y s.
La respuesta será diferente para ampos escalares y vectoriales.

  • La integral de linea y de superficie de campos escalares son independientes de la parametrización elegida.

  • La integral de linea de un campo vectorial dependerá de la orientación elegida.


TEOREMA DE GREEEN
Las condiciones para que se cumpla este teorema son que la curva analizada sea cerrada y que la dirección en la que se analiza la curva debe ser antihoraria (dirección positiva).
ROTACIONAL:
El rotacional de un Campo vectorial es un proceso de mayor confianza para saber si un campo vectorial es conservativo o no, el proceso se detalla en lo siguiente:
si el rotacional es igual a cero significa que el campo es conservativo.
DIVERGENCIA

 La divergencia se define como el producto escalar de un gradiente por un campo vectorial F. Este resultado mide la diferencia entre el flujo entrante y el saliente de dicho campo vectorial.
 





 

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Entradas (Atom)